燕山大学附属中学2026年高二上期末19题

一、引言

似同秦皇岛市一中26年高二上期末同考。

这道题表面是解析几何，真正考的是三件事。

1）会不会把题目条件先变成一个可计算的结构
第一问把斜率乘积条件变成二次曲线。
第二问把面积比先变成共线截比的乘积，再用对称式与韦达压缩算量。
第三问把点积拆成两个因子，其中一个只和点 的位置参数 有关，另一个是关于方向参数 的分式，然后做恒定性判别。

2）会不会用统一的设线方式减少分情况
全题直线统一设为其中 ，，且 。
这个设法天然包含竖直线情形 ，不用讨论斜率不存在。

3）会不会做恒定性判别
所谓恒定性判别，本质是把参数任意变化理解成函数对所有自变量取值都不变，然后用最省力的方法把对无穷多条直线都成立压缩成少量方程条件。

二、题目回顾

在平面直角坐标系 中，给定两点动点 满足，直线 与 的斜率分别为 ，且记动点 的轨迹为曲线 。已知 是线段 上一点，且 。过点 的直线 与 交于 两点。直线 、 分别交直线 于 两点。求：

（1）曲线 的方程。
（2）i）若点 在 轴正半轴上，是否存在直线 ，使说明理由。
ii）是否存在点 ，使得 为定值。若存在，求 的坐标并给出定值。

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链接二：https://www.geogebra.org/graphing/u6zbjcf4

三、知识储备

1 斜率与有条件转方程

两点 的斜率

当分母为 0 时斜率不存在，题目里若出现这种点要单独排除。

2 统一设线法

点 在 轴上，设 。过 的任意直线可写为

解释一下为什么这确实包含全部直线。

直线经过 ，代入 得 ，成立。
当 时，可改写为 ，这就是一般斜率形式，斜率为 。
当 时，方程变成 ，这是一条竖直线，正好把斜率不存在的情况也包含进来了。

3 韦达定理与对称式

若二次方程

两根为 ，则

解析几何里遇到两个交点，题目要的是和或积，优先把目标量变成 ， ， ， 这类对称式，然后直接韦达代入。

4 方法 A 直线参数法处理共线比例

遇到点在同一直线上，还被一条竖线截到，最稳做法是参数法，其本质为平面向量的线性运算。

若 ，则存在实数 使

把坐标写出来。设 ，，则

因此

如果 又在直线 上，则 ，所以

移项得

于是

因为 ，长度满足

所以

同理可得

5 方法 C 同角面积公式加截比，面积比不必算面积

三角形面积公式

如果两个三角形夹角 相同，则面积之比等于两边乘积之比。

本题里 ，所以 与 共线。，所以 与 共线。
因此

从而

再用方法 A 的截比就能立即把面积比变成 。

6 方法 B 坐标面积公式

为了第二问的传统写法，我们需要一个常用坐标面积公式。

设三角形顶点为 ，，。

令

引理：由两条向量作为邻边构成的平行四边形面积，等于这两条向量的“叉积长度”。在二维里，这个“叉积长度”正好就是一个行列式的值。因为叉积表示的是有向面积。真实面积不能为负，所以取绝对值。

平行四边形面积：

二维等价写法：

所以平面中以这两条向量为邻边的平行四边形面积等于

三角形面积是平行四边形的一半，所以

这个公式在高中解析几何里是常见工具，可以把它当作坐标法面积公式。

7 方法 D 恒定性判别

恒定性判别是一种思想。核心思想是把含参数的表达式看成函数。
例如本题第二问的第二小问（是否存在点 ，使得 为定值）会出现

对固定的 来说， 就是关于 的函数。

题目说对任意直线 都一样，等价于说对任意参数 取值都一样，也就是 是常函数。

最常见的恒定性判别有三种做法。

做法 1 代值法

如果对所有 恒定，那么 。用少量代值就能否定，或用方程锁定条件。

做法 2 极限法

若

当 很大时，主导项是 ，所以

因此

若 恒为常数，则这个常数必等于 。
同时 也必须等于同一常数，于是

做法 3 恒等式比较系数法

仍然是

若它恒为常数 ，则对所有 都有

比较 系数与常数项得

消去 得

这是高中视角下最简单的恒定性判别条件。

四、第一问（1）详细解析

设动点 。

直线 经过 与 ，斜率为

直线 经过 与 ，斜率为

题设代入得

移项整理后可得轨迹方程

因此

取点范围说明：

斜率表达式中 且 ，所以 。
椭圆上满足 的点只有 ，因此轨迹是椭圆去掉两个长轴端点 。

五、第二问（2.i）详细解析 两种思路与方法 A B C 的完整融合

5.1 统一设定与韦达定理

点 在线段 上，设

直线 按要求统一设为

直线与椭圆 交于

并且由于 在直线 上，有

将直线方程 代入椭圆方程 。

代入式：

整理得到标准二次方程：

其两根就是 。因此由韦达定理：

与

路线一 方法 C 同角面积加方法 A 参数截比（推荐）

5.2 证明面积比等于

因为 在直线 上，所以 与 共线。
因为 在直线 上，所以 与 共线。
因此两个三角形在点 的夹角相同：

用同角面积公式：

因为 ，所以正弦相同，可以约掉：

接下来用方法 A 的参数截比。

对 ，设

已算出

于是

同理

因此

椭圆 上必有 ，除去端点以后仍然满足

所以

且

因此

题设条件三角形面积比为4，则有：

5.3 用设线 计算 的对称式

由

可得

所以

展开：

5.1可知：

代入得到：

化简分子：

把含 的项放在一起：

现在逐项展开：

易得括号内结果为 0。

因此分子化为

故有：

5.4 写出存在条件并判别是否有解

题设需要

带入得到：

易得：

整理可得：

题目条件 在 轴正半轴上，并且 ，通常取此时可得：

但左边是 ，一定满足 。
因此不可能出现实数，可知结论：

路线二 方法 B 传统解析几何写法

这一条路线的教学价值是让学生看到

以及

的来源，并最终仍然回到同一个对称式。

5.5 先求 的坐标

用参数法计算（用两点式直线方程也可轻松求解）

对 ：

且 ，所以 。
因此可得：

同理可得：

于是

5.6 计算

都在直线 上，所以线段 是竖直线段，长度就是上面那个纵坐标差的绝对值。
点 到直线 的距离为 1，因为两条竖直线相距 1。

因此三角形 的面积

也就是

5.7 计算 并推出

使用前面给出的坐标法面积公式：

把 ， 代入：

代入可得：

化简可得：

因此

因为 ，所以 ，于是 。

也就是：

5.8 把面积比化简到同一个对称式结论

由 5.6 与 5.7：

而

注意分子：

在 5.7 中已经算过：

因此分子绝对值是：

易得：

代回易得：

结合 5.2 的符号判断可去绝对值，得到

后续就完等同于路线一，最终结论同样是 时无解。

路线二 方法 B 补充：仿射变换把椭圆变圆思路，可以帮助结构观察

令

则

变成

这是半径 2 的圆。

直线

变成

思考点：

第一，圆的割线与弦性质学生应当更熟，有助于建立直观。
第二，面积在纵向缩放 2 倍时整体按 2 倍缩放，所以任何两个面积之比不变，因此第二问的面积比问题可以用它做核对。
第三，点积不是面积，不在这种变换下保持，所以第三问不用仿射去替代计算。

六、第二问（2.ii）详细解析 方法 D 恒定性判别

第三问问的是，是否存在 ，使得是定值。题目语境里直线 经过 但方向可变，等价于说参数 可任意变动。
因此第三问真正要做的是：对固定 ，表达式是 的函数，找出哪些 能使这个函数对所有 恒定。

这就是恒定性判别。

6.1 写出 坐标，向量 与

这一步沿用第二问5.5已经得到的结论可得：

和

把第二个分量化简：

可得：

同理可得：

6.2 计算点积并做结构拆分

提公共因子化简可得：

这就是核心拆分。

6.3 化简第二因子 ，证明它只含

由5.1韦达定理可得：

由5.3最后一行可得：

因此带入可得：

于是易得：

化简得到：

这一项完全不含 ，只含 。这是第三问能做出来的关键。

6.4 化简第一因子 ，得到关于 的分式

由于5.1直线 按要求统一设为

带入化简可得：

代入5.1韦达定理结果：

可以得到：

通分可得：

化简分子，和5.3一样的算法易得：

把含 的项合并：

括号内显然为5：

因此分子化为：

最终得到

6.5 得到点积的总表达式

写成乘积形式：

拆分记：

则可得到：

6.1之前讲过第三问真正要做的是：对固定 ，表达式是 的函数，找出哪些 能使这个函数对所有 恒定。本质是要求对任意方向参数 都不变，因此要做恒定性判别。

6.6 恒定性判别的两种机制

要使

对所有 都不变，只有两种可能。

机制 1 让

这样无论 怎么变，乘积恒为 0。

机制 2 让 对所有 恒定

这样乘积恒为 乘一个常数。

机制 1 求

分母 不为 0，因为 所以 等价于分子为 0：

解方程得到：

因此存在一点：

此时：

机制 2 让 恒定

把它方法 D 与一般形式对比：

这里

由恒定性判别条件 ，必须满足

解方程可得：

因此存在第二点：

在该点下，分式 恒为常数。
这个常数是什么，可以直接用比较系数得到，常数就是 ，因此

所以点积定值为

下面把 代入并完整化简定值。

令 ，则 。

算分子：

再算分母：

因此

点积定值为

因为 ，将分母有理化，乘以 ：

即

6.7 第三问结论汇总

满足点积为定值的点 有且只有两点：

1）

2）

七、深度剖析与方法论

7.1 本题为什么很考验结构

如果按最直观路线去做，会想着先求 的坐标，再求 ，再算面积和点积。
但 的坐标根式复杂，算量巨大，任何一步符号错就崩盘。

正确方向是先找目标量的结构，把它改写成对称式与分式，然后用韦达压缩。

第二问的目标结构是

第三问的目标结构是

一旦结构出现，题目就从算力题变成代数消元题。

7.2 恒定性判别的本质

第三问方向任意意味着参数 任意。
表达式若要对任意 都一样，等价于函数恒等。

因此恒定性判别本质是函数常值判别。

本题最终把点积写成

这就天然出现两条机制：

机制一 让整体恒为 0。
机制二 分式对任意 恒定，系数匹配得到 。

这就是第三问两个解的来源。

八、解题策略对比与总结

8.1 第二问（i）最推荐路线

方法 C 同角面积公式，把面积比变成边比。
方法 A 参数截比，把边比变成 、。
再用 与韦达直接算出 的对称式，最后符号判别得到无解。

这一套是课堂通法，迁移性最强。

8.2 第二问（i）传统路线的定位

传统路线把

，

写出来，能满足学生对我真的在算面积的直觉。
但最终仍然会化简到 ，所以课堂上建议把传统路线作为补充。

8.3 第三问（ii）只有结构拆分后做恒定性判别

第三问如果不拆分，就会被点积直接拖进复杂代数。
拆分后每一块都可控，并且恒定性判别给出很干净的条件，我认为这是命题人设计的主线。

九、反思

9.1 问题是怎样被拆解的

第一问先锁定轨迹是椭圆。
第二问把面积比改写为共线比例乘积，再用韦达算对称式，最后符号判别得到无解。
第三问把点积拆成两因子，其中一个只含 ，另一个是关于 的分式，再用恒定性判别两机制得到两个点。

9.2 各种方法分别用到了什么

方法 A 得到比例 。
方法 B 把求面积，主要用于求解面积。
方法 C 把面积比转成边乘积比，避免硬算面积。
方法 D 把点积拆分引入恒定性判别，这是第三问的核心。

9.3 题目之间的内在联系

第二问第一小问中出现的 在第二小问里再次出现，使

能够非常快地约分掉 ，从而变成只含 的因子。
这种复用是命题的精巧处。

十、综合评价

从知识点上看，这题完全在高中范围内。难点来自三点：

1. 算链条长，容易被根式计算拖垮
2. 需要结构意识，知道什么时候用对称式，什么时候用截比
3. 第三问要求理解参数任意就是函数恒定，从而用恒定性判别压缩无穷多情况

作为高二上期末最后一题，它的区分度来自结构，而不是来自超纲技巧。
教学上最值得提炼的不是具体数值答案，而是三方法：

1. 设线 并建立交点二次方程与韦达
2. 参数截比 秒出
3. 恒定性判别 恒定必有

（2026年2月18日于秦 lushi78778@qq.com 本文完 解析部分非授权不得转载）

（2026年2月19日已完成校对完善）